Определение

Производной функции f(x) называется предел, если он существует и конечен.

f^{'} (x) = Δ x \to 0 lim \frac{f ( x + Δ x ) - f ( x )}{Δ x}

Идея

Касательная к графику функции в точке имеет угловой коэффициент, равный значению производной в этой точке. Поэтому производная — это главный инструмент для описания локального поведения кривой.

k = f^{'} (x_{0})

Иллюстрация к теме производной и касательной

Формулы

f^{'} (x_{0}) = tan α

y - y_{0} = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})

f^{'} (x) > 0 \Rightarrow f возрастает

f^{'} (x) < 0 \Rightarrow f убывает

f (x) = x^{2}

f^{'} (x) = 2 x

Интерактив

Интерактивная игра

Найдите угловой коэффициент касательной к параболе в заданной точке.

Задание

y = x^{2}

Точка: x = 1

Найдите значение углового коэффициента касательной в этой точке.

Ваш ответ

ИИ-помощник

Нужна подсказка по теме «Производная в математике»? Откройте один из сервисов ниже и обсудите этот материал простыми словами.

💬Обсудить с ChatGPT 🧠Обсудить с DeepSeek

Пример

Для функции y = x² в точке x = 1 производная равна 2, поэтому касательная имеет уравнение y - 1 = 2(x - 1), то есть y = 2x - 1. Это показывает, как производная помогает строить касательные и анализировать форму графика.